群型クラスと群インスタンス

-- 群型クラス
class Group a where
  gappend :: a -> a -> a
  gempty  :: a
  ginv    :: a -> a  -- inverse

-- 群インスタンスの例
instance Group Int where
  gappend = (+)
  gempty  = 0
  ginv    = negate

　ひとまず群型クラスとGroup Int型の定義のみを並べてみました。

群の満たす法則は

1. 結合律
2. 単位元律
3. 逆元の法則

でした。

それぞれ

1. gappend
2. gempty
3. ginv

が対応していて、Groupのgappendとgemptyは
このMonoidのmappendとmemptyと同一のものです。※1

そう、モノイド(Monoid)に逆元の存在(ginv)を足した構造が群でした！

※1
今回の群インスタンスの例は、半群, モノイドと違い 演算が(+)、単位元が0になっています。
整数集合には5の逆元がないから、 ((*), 1)は群にはなれないのです！
(

5 * 0.2 = 0.2 * 5 = 1

にはなりますが、0.2は整数ではありません！
)